🤔🤔🤔🤔🤔🤔🤔

دو نقطهٔ A(۱۴, ۳) و B(۱۰, -۱۳) را در نظر بگیرید، فاصله‌ی مبدا مختصات را از وسط پاره‌خط AB به دست آورید.

خب، بریم سراغ حل این مسئله‌ی ریاضی! اول از همه، بیایید ببینیم سوال چی می‌خواد و بعد قدم به قدم جلو بریم.

اول یه نگاهی به سوال بندازیم:

دو تا نقطه داریم به اسم‌های A و B که توی یه صفحه (مثل یه کاغذ) قرار دارن. هر کدوم از این نقطه‌ها یه آدرس دارن که بهش میگیم مختصات. مختصات نقطه A میشه (۱۴, ۳) و مختصات نقطه B میشه (۱۰, -۱۳). حالا ما می‌خوایم یه خط بکشیم که این دو تا نقطه رو به هم وصل کنه. این خط رو میگن پاره‌خط AB. وسط این پاره‌خط کجاست؟ و فاصله‌ی اون وسط تا نقطه‌ای که بهش میگیم مبدا مختصات (یعنی نقطه‌ی (۰, ۰)) چقدره؟

این سوال چند تا چیز مهم داره که باید بدونیم:

حالا که اینا رو فهمیدیم، می‌تونیم بریم سراغ حل مسئله.

  1. اول از همه، باید وسط پاره‌خط AB رو پیدا کنیم. برای این کار، باید مختصات دو نقطه A و B رو با هم جمع کنیم و بعد تقسیم بر ۲ کنیم.

    2. مختصات نقطه‌ی A:

    (۱۴, ۳)

    مختصات نقطه‌ی B:

    (۱۰, -۱۳)

    برای پیدا کردن مختصات وسط پاره‌خط، این کارها رو انجام میدیم:

    مختصات x وسط = (مختصات x نقطه‌ی A + مختصات x نقطه‌ی B) / ۲

    مختصات y وسط = (مختصات y نقطه‌ی A + مختصات y نقطه‌ی B) / ۲

    حالا عددها رو جایگذاری می‌کنیم:

    مختصات x وسط = (۱۴ + ۱۰) / ۲ = ۲۴ / ۲ = ۱۲

    مختصات y وسط = (۳ + (-۱۳)) / ۲ = -۱۰ / ۲ = -۵

    پس مختصات وسط پاره‌خط AB میشه (۱۲, -۵).

  2. حالا که مختصات وسط پاره‌خط رو داریم، می‌تونیم فاصله‌ی این نقطه تا مبدا مختصات (۰, ۰) رو حساب کنیم. برای این کار، از یه فرمول استفاده می‌کنیم که بهش میگن فرمول فاصله.

    3. فرمول فاصله:

    فاصله = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

    توی این فرمول:

    حالا عددها رو جایگذاری می‌کنیم:

    x₁ = ۰

    y₁ = ۰

    x₂ = ۱۲

    y₂ = -۵

    فاصله = √((۱۲ - ۰)² + (-۵ - ۰)²)

    = √((۱۲)² + (-۵)²)

    = √(۱۴۴ + ۲۵)

    = √۱۶۹

    = ۱۳

    پس فاصله‌ی مبدا مختصات تا وسط پاره‌خط AB میشه ۱۳.

حالا یه نگاهی به راه‌حل بندازیم و ببینیم همه چیز درست پیش رفته یا نه.

اول، وسط پاره‌خط رو درست پیدا کردیم. جمع کردن مختصات‌ها و تقسیم بر ۲ کار درستی بود.

دوم، از فرمول فاصله درست استفاده کردیم و عددها رو درست جایگذاری کردیم.

سوم، محاسباتمون درست بودن و جواب نهایی ۱۳ شد.

به نظر میرسه همه چیز درست پیش رفته!

راه حل تستی و کوتاه:

  1. وسط پاره‌خط AB:

    2. ((۱۴+۱۰)/۲ , (۳-۱۳)/۲) = (۱۲, -۵)

  2. فاصله از مبدا:

    3. √((۱۲-۰)² + (-۵-۰)²) = √(۱۴۴+۲۵) = √۱۶۹ = ۱۳

خب، حالا بیایید یه کم این چیزا رو ساده‌تر توضیح بدیم برای کسایی که تازه دارن با ریاضی آشنا میشن.

تصور کن یه نقشه داری. روی این نقشه دو تا شهر هستن:

شهر A و شهر B. می‌خوای یه جاده بین این دو تا شهر بکشی. وسط این جاده کجاست؟ خب، اگه بخوای دقیقاً وسط جاده رو پیدا کنی، باید یه نقطه رو انتخاب کنی که فاصله‌اش از شهر A و شهر B با هم برابر باشه.

حالا فرض کن شهر A آدرس (۱۴, ۳) رو داره و شهر B آدرس (۱۰, -۱۳) رو داره. این آدرس‌ها بهت میگن که هر شهر چقدر به سمت راست یا چپ و بالا یا پایین رفته. برای پیدا کردن آدرس وسط جاده، باید آدرس‌های دو شهر رو با هم جمع کنی و بعد تقسیم بر ۲ کنی.

این کار رو انجام میدیم:

آدرس x وسط = (۱۴ + ۱۰) / ۲ = ۱۲

آدرس y وسط = (۳ - ۱۳) / ۲ = -۵

پس آدرس وسط جاده میشه (۱۲, -۵).

حالا می‌خوای بدونی که این وسط جاده چقدر از یه نقطه‌ی خاص فاصله داره. این نقطه‌ی خاص همون مبدا مختصاته که آدرسش (۰, ۰) هست. برای این کار، باید از یه فرمول استفاده کنی که بهت میگه چقدر راه باید بری از یه نقطه تا یه نقطه‌ی دیگه.

این فرمول میگه:

فاصله = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

این فرمول یه کم پیچیده به نظر میرسه، ولی خیلی ساده است. فقط کافیه اختلاف بین آدرس‌های دو نقطه رو حساب کنی، اون رو به توان ۲ برسونی، با هم جمع کنی و بعد جذرش رو بگیری.

این کار رو انجام میدیم:

فاصله = √((۱۲ - ۰)² + (-۵ - ۰)²)

= √(۱۴۴ + ۲۵)

= √۱۶۹

= ۱۳

پس وسط جاده ۱۳ واحد از مبدا مختصات فاصله داره.

اصطلاحات تخصصی:

سه سوال مشابه:

  1. دو نقطهٔ C(۵, -۲) و D(-۳, ۶) را در نظر بگیرید، فاصله‌ی مبدا مختصات را از وسط پاره‌خط CD به دست آورید.
  2. اگر A(-۸, ۴) و B(۲, -۱) باشند، طول پاره‌خط AB را محاسبه کنید.
  3. نقطه‌ای روی محور xها قرار دارد که فاصله آن تا نقطه P(۳, ۵) برابر با ۵ واحد باشد. مختصات این نقطه را بیابید.